Maths en mouvement 2009

Mathématiques en mouvement 2009

There is still research to do in Mathematics! This is a message the Foundation is trying to deliver thanks to this event. Mathématiques en mouvement took place on May 11th 2009 at the Ecole Normale Supérieure. It was specially intended to students in Master.

 

The goal of the day was to present the amazing diversity of the research in Mathematics, to expose links which can exist between its different specialities and also to help people discover the large variety of its applications. On the program: complex analysis, scientific calculation, geometry, computing, probabilities, dynamic system, group theory, numbers theory, modeling,... Lectures also show that Mathematics opens other doors than research and brings existing interactions between Mathematics and other subjects into light. One of the main mission of the Foundation which is held by this event is to make people realize that Mathematics is a science full of life and to create vocations.

 

Full Program
 

9h30 Opening speech

 

9h50 Charles TOROSSIAN (IMJ, CNRS) : La conjecture de Kashiwara-Vergne ou comment des expériences informatiques peuvent donner des idées !

Les algèbres de Lie généralisent les algèbres de matrices. Dans cette conférence, on s’intéressait à des équations en lien avec la formule de Campbell-Hausdorff et faisant intervenir deux matrices X, Y de taille arbitraire. Ces équations ont des applications importantes en analyse sur les groupes. En cherchant des solutions à ces équations, nous avons résolu, dans un premier temps, avec mes collaborateurs 16 systèmes linéaires de grandes tailles. La suite des dimensions des noyaux des 16 matrices associées se trouvent être en lien avec les multizétas…

 

 

10h15 Marie POSTEL (LJLL, UPMC) : Simulation avancée du transport des hydrocarbures

La simulation numérique des écoulements polyphasiques dans les conduites pétrolières doit répondre à des exigences concernant la robustesse, la précision et la rapidité des calculs pour tous les cas d'opération, y compris les plus raides faisant intervenir des phénomènes physiques violents et chaotiques tels les bouchons. Dans cet exposé étaient présentés quelques aspects du problème, en particulier ceux concernant les modèles et leur approximation numérique, dont l'analyse a été abordée dans le cadre d'une Équipe de Recherche Technologique (http://www.ann.jussieu.fr/ERTint/) réunissant l'Institut Français du Pétrole et le Laboratoire Jacques-Louis Lions.

 

 

10h40 Francis BROWN (IMJ, CNRS) : La fonction zêta dans la théorie des nombres et la physique théorique

Dans cet exposé, on expliquait quelques conjectures récentes portannt sur les nombres multizêtas, qui remontent à l'epoque d'Euler, et on esquissait comment ils interviennent dans la physique des particules.

 

 

11h15 Julien BERESTYCKI (LPMA, UPMC) : La formule de Ewens : Branchement aléatoires, urnes, écologie et génétique des populations

La formule d'échantillonage de Ewens est un objet fascinant. La motivation initiale de Ewens en 1972 concernait des questions de génétique des populations et de théorie de l'évolution (il essayait de répondre à la question "peut-on détecter des traces de l'action de la sélection dans le génome d'une population observée aujourd'hui ?"), mais, comme souvent en mathématique, le rayon d'action de son idée est bien plus vaste que prévu. La formule d'échantillonnage de Ewens est utilisée en écologie, en statistique, en sciences sociales, en théorie des nombres et bien sûr dans de nombreux domaines des probabilités et de la combinatoire. Cet exposé abordait quelques-uns de ces thèmes en se concentrant sur l'aspect "génétique".

 

 

11h40 Vivien RIPOLL (DMA, ENS) : Groupes de réflexions et groupes de Coxeter

Comment doivent être placés trois miroirs si l'on veut que le nombre total de reflets d'un objet situé entre ces miroirs soit fini ? Cette question (plus exactement sa généralisation en dimension quelconque) a été résolue par Coxeter dans les années 1930, et a depuis motivé l'étude générale d'une classe de groupes très riche (appelés maintenant groupes de Coxeter). Cet exposé commençait par présenter la notion de groupe de réflexions, puis les résultats donnés par la théorie de Coxeter. Enfin, il donnait quelques exemples des recherches actuelles sur ces groupes ou sur leurs généralisations (groupes de tresses, groupes de réflexions complexes...)

 

 

13h30 Présentation de la Fondation Sciences Mathématiques de Paris et de ses actions

La Fondation Sciences Mathématiques de Paris finance de nombreux programmes, non seulement pour les chercheurs en mathématiques : Chaire d'Excellence, Prix à un jeune chercheur, positions post-doctorales, invitations... mais aussi en direction des étudiants : bourses pour des étudiants étrangers en thèse ou en master désirant poursuivre leur cursus à Paris, séjours de doctorants parisiens à l'étranger, invitations dans ses laboratoires. Elle projette de créer Paris Graduate School of Mathematical Sciences, un programme ambitieux qui permettra de faire bénéficier l'élite des étudiants de master et de thèse du monde entier du panel exceptionnel d'enseignements en mathématiques dispensés à Paris.

 

 

13h50 Patrick POPESCU-PAMPU (IMJ, UPD) : L'ubiquité des singularités

A l'aide de l'exemple de l'équation générale du troisième degré, source historique des nombres complexes, on expliquait ici que, dans le problème général de l'étude du changement des formes, il est utile de permettre à celles-ci de dégénérer. Apparaissent alors deux types d'objets singuliers : les formes dégénérées et l'espace de toutes ces formes dégénérées, appelé le discriminant. Ces espaces interagissent. Dans l'exemple de l'équation du troisième degré, on a vu que cette interaction est celle entre le noeud de trèfle et les triangles vus à partir de leur barycentre. Ceci donna historiquement la première preuve du fait que le noeud de trèfle est non-trivial.

 

14h15 Roberto DI COSMO (PPS, UPD) : Le défi de la complexité des logiciels libres

Les distributions de logiciels libres (tels que Debian ou Ubuntu) sont aujourd'hui parmi les systèmes logiciels les plus complexes de la planète. Maîtriser cette complexité constitue un veritable défi auquels s'attaquent des informaticiens d'aujourd'hui.

 

 

14h40 Joël MERKER (DMA, ENS) : Variétés algébriques projectives et conjecture de Kobayashi : le défi des calculs

D'après la conjecture de Green-Griffiths, toute courbe holomorphe entière à valeurs dans une hypersurface projective algébrique complexe de dimension n et de degré supérieur à n + 3 devrait être contenue dans une sous-variété algébrique propre de dimension inférieure à n – 1. Les techniques de jets soulèvent un problème effectif de théorie des invariants qui utilise les bases de Gröbner, mais les ordinateurs actuels ne sont pas assez puissants pour effectuer tous les calculs de manière automatique. Nous avons présenté des résultats très récents (et mouvementés) en dimensions 4, 5, 6. Par ailleurs, nous avons aussi évoqué un résultat valable en dimension quelconque, qui repose sur un difficile calcul d'élimination effectué entièrement à la main.

 

 

15h05 Vincent LEMAIRE (LPMA, UPMC) : Discrétisation de solutions d'équations différentielles stochastiques

 

Cet exposé a présenté quelques problèmes de stabilité numérique qui apparaissent lorsqu'on construit des approximations de solutions d'équations différentielles stochastiques (EDS), par exemple perturbées par un mouvement brownien. Après avoir défini et illustré les notions de schéma explicite et de schéma implicite, utilisés en analyse numérique pour la discrétisation d'équations différentielles ordinaires (non perturbées), on a introduit un schéma approchant la solution stationnaire d'une EDS qui est bien défini (il n'explose pas numériquement) pour de nombreux systèmes dissipatifs : système monotone dont le drift est non Lipschitzien, système de Lorenz perturbé, etc.

 

 

15h45 Alena PIRUTKA (DMA, ENS) : Solutions d'équations : variétés et leurs points

Cet exposé a présenté diverses questions sur les solutions des systèmes d'équations polynomiales ou, autrement dit, sur les points rationnels des variétés. En particulier, on s'est intéressé à la question de savoir si de telles solutions existent. On a présenté des résultats classiques ainsi que certaines généralisations plus modernes. On a également indiqué quelques méthodes de preuve.

 

 

16h10 Laurent DUMAS (LJLL, UPMC) : Enjeux médicaux et industriels de l'optimisation

Depuis quelques années, l'essor des moyens informatiques a ouvert de nouvelles perspectives dans les bureaux d'études d'ingénieurs : l'optimisation purement numérique de formes d'automobiles, d'aubes de réacteurs d'avions, etc. Le même type de problèmes d'optimisation se retrouve également dans le domaine médical : optimisation de dispositifs médicaux comme les stents ou les pacemakers, etc. L'exposé a présenté quelques exemples de telles réalisations et a mis en évidence le gain obtenu grâce au développement de nouveaux modèles mathématiques d'optimisation et à l'utilisation de méthodes d'approximation de fonctions.

 

 

16h35 Patrick BERNARD (CEREMADE, DAUPHINE) : Quelques notions de systèmes dynamiques dans le problème des trois corps

Le problème des trois corps et la mécanique céleste ont constitué un des grands moteurs de la recherche mathématique. Cet exposé présentait quelques éléments de cette longue et riche histoire. Nous y avons montré un joli calcul de Lagrange sur le problème des deux corps, puis la construction par Poincaré d'une famille d'orbites dites "de seconde catégorie", qui nous a conduit vers la notion de Chaos et vers des problèmes ouverts objets de recherches contemporaine.



17h00 Closing speech