Paris: leader in Mathematics

Supported by the City Hall of Paris

Mardi 18 novembre 2008, à l’Amphithéâtre Hermite de l’IHP, 11 rue Pierre et Marie Curie 75005 Paris

Le temps d'un après-midi de conférences, la Fondation Sciences Mathématiques de Paris fête ses lauréats 2008 : Hakan Eliasson (Prix Sophie Germain de l'Académie des Sciences), Edward Frenkel (lauréat de la Chaire d'Excellence de la Fondation Sciences Mathématiques de Paris), Isabelle Gallagher (Prix Paul Doistau – Émile Blutet de l'Académie des Sciences), Josselin Garnier (Prix Félix Klein), Sergey Neshveyev (Prix de la Fondation Sciences Mathématiques de Paris), Laure Saint-Raymond (Prix de la Société Européenne de Mathématiques) et Claire Voisin (Prix Clay).

Pour une présentation des conférenciers, cliquer ici.

 

13h30 – 14h

Accueil et discours d’ouverture

 

14h – 14h20

A propos de la description des gaz parfaits

Par Laure Saint-Raymond

Le comportement d'un gaz peut être décrit par différents modèles en fonction des échelles de temps et d'espace considérées. Une question naturelle est alors de savoir s'il existe des transitions continues entre ces modèles : c'est précisément l'objet du sixième problème posé par Hilbert lors du Congrès International de Paris en 1900.

Des travaux récents ont permis de comprendre rigoureusement le passage de l'équation de Boltzmann (qui prédit de façon statistique l'état microscopique du gaz) aux modèles continus de la mécanique des fluides.

Le but de cet exposé est de présenter brièvement le cadre mathématique de l'étude, et de mettre en lumière quelques difficultés de l'analyse asymptotique qui sont liées à la physique du problème.

 

14h25 – 14h45

Quasi-périodicité en Mécanique et en Mathématique

Par L. H. Eliasson

En mécanique, des phénomènes quasi-périodiques apparaissent naturellement quand on couple deux ou plusieurs systèmes en mouvement périodique. Même en absence de résonance exacte, ce couplage, si faible soit-il, peut créer des effets importants à long terme. En témoigne par exemple les travaux classiques de Laplace et al. en mécanique céleste.

L'étude mathématique des mouvements quasi-périodiques des systèmes dynamiques commence essentiellement avec Poincaré. Elle pose des problèmes bien plus délicats que celle des mouvements périodiques, et ce n'est que vers le milieu du XXe siècle, suite aux travaux de Kolmogorov, Arnold et Moser, que nous avons  appris à traiter ces problèmes.

 

14h50 – 15h20

Symmetries and Dualities in Mathematics and Physics

Par Edward Frenkel

In Mathematics, symmetries play a very important role in such diverse subjects as Geometry, Number theory, and Algebra. In Physics, symmetry is also a focal point of research, especially in Quantum Field Theory and String Theory. This is closely related to the concept of "duality" between different theories. Recently, some surprising connections have been found between dualities observed in Mathematics and in Physics. I will talk about the fundamental properties of symmetry and how they play out in different domains, and what various dualities mean from this point of view.

 

15h50 – 16h10

Utilisation du bruit ambiant pour l'imagerie

Par Josselin Garnier

L'objectif de cet exposé est de décrire une nouvelle méthode d'imagerie, qui permet en particulier d'estimer la carte de vitesse du son du sous-sol pour des applications en géophysique. Cette méthode est originale et surprenante car elle n'utilise que des signaux issus de sources de bruit inconnues et incontrôlables. Elle est basée sur un résultat mathématique qui établit un lien entre la fonction de Green entre deux points du milieu et la cross corrélation des bruits enregistrés par deux capteurs situés en ces points.

On verra comment l'analyse mathématique permet de comprendre cette méthode et d'en améliorer les performances.

 

16h15 – 16h35

Autour de la résolution des équations de Navier-Stokes

Par Isabelle Gallagher
Les équations de Navier-Stokes sont un modèle permettant de décrire dans une certaine approximation le mouvement de nombreux fluides, depuis l'écoulement de l'eau dans un tuyau jusqu'au mouvement des océans ou de l'atmosphère terrestre. Leur étude mathématique remonte aux travaux de Jean Leray en 1934, et de nombreux mathématiciens ont poursuivi ces travaux en étudiant les questions de l'existence, l'unicité, et la stabilité des solutions de ces équations. Nous expliquerons l'importance de telles études d'un point de vue physique, et mettrons en évidence les difficultés inhérentes au problème ainsi que les différents résultats obtenus ces dernières années.

 

16h40 – 17h

Quantum random walks and their boundaries

Par Sergey Neshveyev

It is sometimes convenient to interpret the spectrum of the center of an algebra as a boundary of a random walk, but it turns out that the algebra itself can often be considered as a boundary of a quantum random walk, which brings a new insight into dealing with noncommutative spaces. I will explain the main definitions of the theory, present examples coming from discrete quantum groups and formulate some open problems.

 

17h10 – 17h40

Topologie des variétés algébriques

Par Claire Voisin

Une variété algébrique complexe peut aussi être vue comme une variété complexe, donc en particulier une variété topologique, et on peut utiliser la théorie de Hodge pour étudier la cohomologie de ces variétés.

Un autre aspect du sujet est un théorème dû à Grothendieck, conséquence du fameux principe GAGA de Serre, qui dit que la cohomologie à coefficients complexes de ces espaces topologiques est calculable en considérant uniquement la variété algébrique et sa topologie de Zariski.

On en déduit une structure supplémentaire sur la cohomologie, liée aux motifs, qu'on essaiera de décrire et qui dit beaucoup de choses sur la conjecture de Hodge. Cette structure est totalement absente dans le cadre kaehlerien général où la théorie de Hodge s'applique.

 

17h40

Discours de clôture

 

18h

Cocktail de clôture