Stéphane Mallat, mathématicien voyageur

La Fondation a accueilli en 2010 un nouveau président du Conseil Scientifique : Stéphane Mallat, Professeur à l’Ecole Polytechnique en Mathématiques appliquées, Analyse harmonique et Traitement de l’image. Ses recherches touchent à la théorie des ondelettes, à la géométrie, à la représentation de l’information. Il a également créé une start-up au début des années 2000.


Stéphane Mallat a l’amour des voyages. De 1986 à 1996, il séjourne aux Etats-Unis, où il passe son doctorat et devient professeur au Courant Institute. Il rentre ensuite en France où il enseigne à l’Ecole Polytechnique.

L’expérience industrielle

Influencé par son passage aux Etats-Unis, Stéphane Mallat s’embarque à partir de 2001 pour un voyage beaucoup plus atypique du point de vue de l’univers des enseignants-chercheurs en France, en participant à la création d’une start-up : Let It Wave, « une société de semi-conducteur pour le traitement d’images créée à partir de résultats mathématiques sur la construction de bases orthogonales géométriques», précise-t-il avant d’ajouter que « l’innovation technologique est un excellent point de départ à la création d’une start up. » Il dirigera l’entreprise pendant 6 ans. « J’y ai découvert le métier d’ingénieur, le marketing, l’art de la négociation...» En 2007, Let It Wave est revendue à une société américaine et Stéphane Mallat redevient enseignant-chercheur à plein temps.
Il relate cet aller-retour de la recherche à l’entreprise comme une expérience particulièrement enrichissante : « Le lien entre science et débouchés technologiques peut être très motivant. Cette expérience industrielle m’a emmené vers des applications beaucoup plus concrètes, qui ont soulevé des problèmes de mathématiques que je n’ai pas résolus à cette époque et que j’étudie encore aujourd’hui. »
« Peu de gens font ce voyage, et quand c’est le cas, c’est souvent à sens unique (de la science vers l’entreprise, sans retour) », semble regretter Stéphane Mallat. Cette situation n’est cependant pas typiquement française, comme on le croit souvent : « Les choses sont très similaires en Angleterre, en Allemagne ou en Suisse. Le passage est en revanche plus perméable aux Etats-Unis ou en Israël. Mais ici on est de plus en plus conscient qu’il faut améliorer cela. » Et il ajoute : « Il faut surtout faciliter la perméabilité entre la recherche d’une part et les PME et les start-up d’autre part, car c’est de ces dernières que vient l’innovation technologique. »
Stéphane Mallat confie malgré tout que sa vocation demeure du côté de la recherche : « Ce métier d’enseignant-chercheur est fabuleux ! »


La théorie des ondelettes

Dès le début de sa carrière, Stéphane Mallat travaille sur la théorie des ondelettes (les ondelettes étant des fonctions particulières), dont il est considéré comme un des pionniers. Il s’intéresse alors à ses applications au traitement de l’image. Le thème de sa thèse est d’ailleurs Construction de bases orthogonales d’ondelettes et applications au traitement de l’image. Il se souvient : « La théorie des ondelettes est un domaine où nous n’étions que 4 ou 5 au départ, et puis qui a explosé dans les années 1990, avec des applications en physique, en chimie... »
Qu’est-ce que la théorie des ondelettes ? Pour répondre à cette question, Stéphane Mallat évoque une partition de musique. « Quand on écrit une partition, on écrit un son avec une note de musique. La question que l’on peut légitimement se poser est : Est-ce que n’importe quel son peut être écrit comme une somme de notes de musique ? Par exemple, est-ce le cas du bruit de camion que l’on entend dans la rue ? De la même manière, en théorie des ondelettes, on se demande si n’importe quelle fonction peut être décomposée en ondelettes. Ensuite, on se demande si cela est pertinent. On se pose la question de la représentation de l’information. »
Aujourd’hui, on retrouve les ondelettes dans la compression d’images (par exemple dans le standard JPEG 2000), dans la perception visuelle et auditive humaine, mais aussi en mécanique quantique. « Dès les années 1990, la théorie des ondelettes a été un domaine pluridisciplinaire, transversal », souligne Stéphane Mallat. « Elle illustre bien le fait que, même si chaque domaine (traitement du signal, physique, géophysique) développe ses propres outils de son côté, c’est grâce aux mathématiques que la communication entre ces différents domaines est possible. » Là encore, il s’agit de voyages entre des mondes a priori différents : « J’ai fait des allers-retours entre le traitement de l’image et les mathématiques, entre l’intuition mathématique et l’expérience. » Il ajoute : « D’une certaine manière, la start-up, c’était l’étape d’après.  Ce triangle mathématiques-applications-industrie résume assez bien mon parcours. »

L’émergence de la géométrie

Après la théorie des ondelettes, Stéphane Mallat s’est penché sur des questions de géométrie et plus précisément sur la problématique d’émergence de la géométrie dans tout ce qui concerne la perception. « On peut rapprocher cela de l’émergence de la mélodie dans une partition de musique », propose-t-il, filant la métaphore. « On a la capacité de faire émerger des formes à partir de points ou d’éléments épars. Pourquoi ? Comment ? C’est un grand mystère, une grande question très ouverte. Cela montre que la perception est conditionnée par des processus de groupement (c’est la théorie de la gestalt), que cette capacité à grouper est très fondamentale dans la perception. Il faut trouver le bon cadre mathématique pour comprendre tout ça. »
Cette question touche évidemment aux neurosciences : « Le cortex visuel comporte une couche (la couche VI) dans laquelle on trouve des cellules appelées neurones simples qui calculent quelque chose proche d’une transformée en ondelettes. Il existe aussi des neurones complexes qui agrègent cette information et sont responsables de l’émergence de la géométrie. » Encore une fois, ce constat soulève les questions Pourquoi ?, Comment ?, mais aussi Quel genre de géométrie ?
« Toujours sur la perception, il y a aussi la question de l’invariance : on reconnait des objets quelle que soit la distance à laquelle ils sont situés », poursuit Stéphane Mallat « En musique aussi, il existe une perception de structures à diverses échelles. Pourquoi a-t-on cette perception invariante des choses ? » Ces problèmes font intervenir de nombreux domaines des mathématiques comme l’analyse harmonique, les statistiques, les problèmes d’invariants, la théorie des groupes...


Les problèmes inverses

Stéphane Mallat travaille enfin beaucoup sur ce qu’en mathématiques on appelle des problèmes inverses : « Par exemple, en géophysique, la structure d’un sous-sol détermine la manière dont une onde s’y propage. Inversement, si on envoie une onde dans ce sous-sol et que l’on récupère des mesures, on va pouvoir en déduire des informations sur les strates du sous-sol. » On cherche à résoudre des problèmes inverses dans des domaines très variés. « Enlever le flou sur des images est un aussi problème inverse », explique-t-il.

En guise de conclusion, Stéphane Mallat résume : « Tous mes travaux sont reliés par une même notion : celle de la représentation, et par la question Comment se construit cette représentation ? »

La Fondation vue par le président du Conseil Scientifique

Stéphane Mallat a accepté de présider le Conseil Scientifique de la Fondation, dont il apprécie tout particulièrement la qualité de « structure académique claire » regroupant les mathématiques parisiennes : « La difficulté des mathématiques, c’est la question de leur visibilité parce qu’elles sont très éclatées en plusieurs domaines, plusieurs institutions. La Fondation a le mérite de les considérer comme un tout. Ce regroupement est utile à plusieurs niveaux. Prenons par exemple le programme post-doctoral : les jeunes étrangers n’ont pas à connaître la complexité du système français. La Fondation leur offre une vitrine unifiée et simple des mathématiques sur Paris. C’est extrêmement important ! »