Autour de Wolfgang Döblin et du mouvement brownien : rencontre avec Marc Yor

 Membre de l’Académie des Sciences, Professeur à l’Université Pierre et Marie Curie depuis 1981, Marc Yor effectue ses recherches au Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires (LPMA). Depuis le début de sa carrière – il a soutenu sa thèse de 3e cycle en 1973, puis sa thèse d’Etat en 1976 - il s’intéresse au calcul stochastique, et plus spécialement aux martingales, qui sont un type particulier de processus aléatoires « en équilibre », et au mouvement brownien.

Mouvement brownien

Après sa thèse de 3e cycle, Marc Yor a essayé de s’orienter vers la physique théorique avant de découvrir l’univers passionnant du mouvement brownien. « J’avais commencé, pendant un an, par faire de la théorie quantique des champs, notamment dans le cadre du programme de Symanzik. Ce programme demandait de connaître des propriétés fines du mouvement brownien plan. J’ai donc décidé d’étudier ce domaine et j’y suis resté. » Il observe par exemple la façon dont la trajectoire du mouvement brownien plan s’enroule autour d’un nombre fini de points. « On fait l’étude asymptotique de ces enroulements, c’est-à-dire que l’on regarde comment cela se passe lorsque le temps tend vers l’infini » explique-t-il. « C’est une question sur laquelle j’ai passé beaucoup de temps entre 1977 et 1989. Les résultats décisifs ont été obtenus avec Jim Pitman, professeur à Berkeley, et Jean-François Le Gall, qui préparait alors sa thèse d’Etat (en 1984). »

 

Mathématiques financières

Bien qu’il ne se considère pas comme un spécialiste des mathématiques financières, les travaux de Marc Yor trouvent de nombreuses applications dans ce domaine. Par exemple, il s’est intéressé aux options asiatiques, qui s’expriment en termes d’exponentielles du mouvement brownien. Il relate : « Un certain nombre de gens qui travaillent en mathématiques financières m’ont posé sur le mouvement brownien des questions qu’ils rencontraient dans leur activité ». Il ajoute : « Mon intérêt, c’est le mouvement brownien lui-même, mais je suis heureux que d’autres domaines comme la finance soient à l’origine de questions intéressantes du point de vue des mathématiques. Cela apporte un angle nouveau, une approche nouvelle. »

La finance n’est pas le seul domaine à nourrir les recherches de Marc Yor : « J’ai parlé précédemment de processus continus, mais on peut aussi considérer des processus qui comportent des sauts : les processus de Lévy. Ils interviennent par exemple dans les télécommunications ou dans des questions physiques, comme la formation des galaxies. Par conséquent, je travaille aussi en contact avec des physiciens théoriciens. »

Un exemple de problème ouvert

« Considérons une certaine information accumulée jusqu’à un temps t. Il peut s’agir, par exemple, de l’information emmagasinée sur une population au cours du temps. Bien sûr, cette information augmente avec le temps. Une question est de se demander si cette famille d’informations, fonction du temps t, peut être décrite par un mouvement brownien. Si oui, on dit que c’est une information brownienne. Autrement dit, un processus peut coder une famille d’informations. Il s’agit alors de classifier ces familles d’informations : je me demande en particulier si telle famille est brownienne ou pas. A l’heure actuelle on a des conditions nécessaires pour dire si c’est le cas mais pas de conditions nécessaires et suffisantes. Boris Tsirelson, actuellement en Israël après avoir vécu et travaillé en Union Soviétique, a permis de réaliser beaucoup de progrès sur ces questions. »

Allers-retours entre deux domaines mathématiques

D’autres domaines des mathématiques peuvent être une source de questions pour les probabilistes. La théorie des nombres en est un exemple. Ainsi, les nombres premiers étant distribués de manière erratique, on peut se demander s’il existe un (ou des) modèle(s) probabiliste(s) qui rende(nt) compte de leur distribution. Il en existe effectivement, par exemple le modèle dit de Cramer.

Un autre problème fascinant (ayant d’ailleurs des liens étroits avec le précédent) extérieur aux probabilités mais trouvant des éclairages grâce à elles est l’hypothèse de Riemann, un problème d’arithmétique extrêmement difficile qui figure dans la fameuse liste des « sept problèmes du millénaire » distingués par la Fondation Clay. Avec les travaux par exemple de Dyson et plus récemment de Keating et Snaith, on essaie d’obtenir des avancées sur ce problème via l’étude des matrices aléatoires de grandes tailles, en faisant un aller-retour entre les deux domaines. « C’est comme s’il existait un dictionnaire entre d’un côté la fonction zêta de Riemann et de l’autre les matrices aléatoires » explique Marc Yor. Grosso modo, les questions sur la fonction zêta sont en quelque sorte « traduites », grâce à ce « dictionnaire », dans le domaine des matrices aléatoires, celles-ci étant moins difficiles à étudier. Ensuite les résultats sont « traduits » en sens inverse, c’est-à-dire du domaine des probabilités vers le domaine de la fonction zêta. « On ne sait d’ailleurs même pas pourquoi cela fonctionne si bien » admet le mathématicien. « C’est comme si deux peuples habitant deux endroits opposés sur la planète et n’ayant jamais eu de contacts l’un avec l’autre avaient élaboré des langages structurés exactement de la même manière. » Et il conclut : « C’est une des caractéristiques merveilleuses des mathématiques : deux domaines ne sont a priori pas liés entre eux et pourtant les travaux effectués dans l’un permettent d’avancer dans l’autre ! »

Le fascinant Wolfgang Döblin (1915-1940)

Marc Yor a eu la chance de participer à la publication d’un des travaux d’un mathématicien hors du commun mort en 1940 : Wolfgang Döblin.

Né en 1915, Wolfgang est le fils du médecin et grand écrivain allemand Alfred Döblin, antinazi de la première heure, auteur du célèbre Berlin Alexanderplatz porté à l’écran par Fassbinder.

 

Le jeune Wolfgang semble avoir très tôt témoigné de convictions politiques fortes. Ainsi, au lycée, il refuse de suivre les cours d’instruction religieuse. Plus tard, il explique avoir voulu étudier la statistique et l’économie dans un but marxiste. La famille Döblin, juive, quitte Berlin dès la Nuit de Cristal pour émigrer en Suisse, puis en France. Ils obtiendront la nationalité française. Resté dans la capitale allemande jusqu’à l’obtention de son baccalauréat, Wolfgang les rejoint à Maisons-Laffitte. Il soutient sa thèse (qui porte, grosso modo, sur l’équation de Kolmogorov et autres questions connexes) en 1938, sous la direction de Maurice Fréchet.

 

A 24 ans, Wolfgang Döblin est enrôlé dans la « Drôle de guerre ». Il se bat notamment en Lorraine et obtient la Croix de Guerre. Il se suicide après la capitulation de la France, le 21 juin 1940, dans une grange de Housseras, petit village des Vosges. Auparavant, il avait eu le soin, dès février 1940, d’envoyer ses travaux à l’Académie sous pli cacheté.

 

 

En 2000, ce fameux pli de Döblin est enfin ouvert après 60 années d’attente, grâce aux demandes répétées du mathématicien Bernard Bru. Marc Yor en découvre alors le contenu. « Je connaissais à peine l’existence de ce pli », se souvient-il. Il se passionne immédiatement pour le personnage de Döblin. A partir de mai 2000, il travaille donc avec Bernard Bru à la publication du pli, qui paraîtra accompagné de notes historiques et mathématiques dans un volume spécial des Comptes-rendus de l’Académie en décembre 2000.

 

« Döblin décrit les processus de diffusion unidimensionnels, qui modélisent une particule aléatoire qui évolue continûment au cours du temps », explique Marc Yor. « Pour cela, il utilise la notion de martingale et développe des relations entre les martingales continues et le mouvement brownien. Ces travaux complètent brillamment ceux de sa thèse ; on peut penser qu’il avait discuté de la notion de martingale à l’IHP, avec Jeanville. » Coïncidences des destinées mathématiques : on peut faire un parallèle entre Döblin et le mathématicien japonais Kiyoshi Ito, né lui aussi en 1915, mobilisé pendant la Seconde Guerre Mondiale, et qui s’est également illustré pour ses travaux de premier plan sur les processus stochastiques, dont le mouvement brownien, bien que les deux mathématiciens n’aient jamais été en contact. On notera cependant qu’Ito est mort en 2008, à l’âge honorable de 93 ans.

Dans la veine d’Abel et Galois

« Quand on a étudié le Pli Cacheté de Döblin en 2000, on s’est rendu compte que, dans le domaine couvert par le pli, ce jeune mathématicien avait 25 ans d’avance » poursuit Marc Yor. « En effet, dans le contenu de ce fameux pli, qui date donc de 1940, il développe des méthodes et des résultats (re)découverts vers 1965. » Jeunesse, œuvre mathématique exceptionnelle (écrite pour partie dans les terribles conditions de la Seconde Guerre mondiale), mort tragique, reconnaissance posthume : à bien des égards, Wolfgang Döblin rappelle Niels Abel et – peut-être encore plus, du fait de ses convictions politiques affirmées et de son tempérament – Evariste Galois. Le grand mathématicien Paul Lévy - « qui n’était pas réputé pour distribuer des compliments à tort et à travers » insiste Marc Yor – n’hésitera pas à le situer dans la catégorie de ces deux jeunes mathématiciens géniaux.

« 10 ans après l’ouverture du pli, il est émouvant de constater que l’intérêt pour les travaux et la vie de Wolfgang Döblin ne s’est pas toujours pas tari », constate Marc Yor. « Il faut cependant ajouter que ceux qui s’y intéressent le font pour des raisons très diverses. Certains sont des probabilistes, d’autres, des amateurs des romans de son père Alfred, d’autres encore manifestent une curiosité envers l’évolution spirituelle de cette famille juive convertie au catholicisme après son émigration aux Etats-Unis. » On peut notamment retrouver Döblin dans le livre de Marc Petit paru en 2003, L’Equation de Kolmogorov, ainsi que dans deux films documentaires :Wolfgang Doeblin, A Mathematician Rediscovered, d’Agnes Handwerk et Harrie Willems (DVD Springer, 2007) et La lettre scellée du soldat Döblin, de Jürgen Ellinghaus et Hubert Ferry (diffusé sur Arte en 2006).

Marc Yor a contribué à faire connaître ce mathématicien remarquable non seulement dans la communauté mathématique (la publication des œuvres complètes de Wolfgang Döblin est actuellement en cours ; ces œuvres consistent – outre le Pli Cacheté – en 13 articles et 13 Notes aux Comptes rendus, dont l’ensemble a été publié en 4 ans !) mais aussi auprès du grand public, puisqu’il lui a consacré le sujet de sa conférence du 23 janvier 2008 à la BnF, dans le cadre du cycle « Un texte, un mathématicien » destiné aux non-spécialistes. « Tout cela n’aurait pu avoir lieu sans la ténacité de Bernard Bru » rappelle Marc Yor en guise de conclusion.

Remerciements de Marc Yor

 « Ils vont à Gaël Octavia qui a su transformer notre conversation très informelle en un texte qui, je l’espère, amènera encore de nouvelles personnes, mathématiciennes ou autres, à s’intéresser à divers aspects de la vie et de l’œuvre de Wolfgang Döblin.

Ils vont aussi et surtout à Bernard Bru, dont l’inlassable volonté de faire connaître les travaux de Wolfgang Döblin s’est finalement trouvé récompensée au delà de toute espérance. »