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François Loeser ou l’art de l’analogie

Classes préparatoires au lycée Louis-le-Grand, Ecole Normale Supérieure… François Loeser a suivi le parcours d’étudiant le plus classique pour devenir mathématicien. Entré au CNRS en 1985, il devient ensuite, en 1989, professeur à l’Université Pierre et Marie Curie, puis, de 2000 à 2010, à l’ENS, dont il dirige le Département de mathématiques et applications (UMR 8553 du CNRS). En septembre 2010, il quitte l’ENS pour retrouver l’Université Pierre et Marie Curie et l’Institut de Mathématiques de Jussieu. Entre autres distinctions, il a reçu un Advanced Investigator Grant de l’European Research Council pour la période 2010-2014, une importante récompense au niveau européen, ainsi que la Médaille d'argent du CNRS en 2011.

Pour en savoir plus, consultez ici sa page personnelle : www.math.jussieu.fr/~loeser/

A l’interface de quatre domaines

François Loeser a commencé sa carrière de chercheur en étudiant les singularités, c’est-à-dire, les points, dans une forme géométrique, où l’on observe une rupture (ces points singuliers sont par exemple les points de rebroussement d’une courbe, ou encore les points où une surface se coupe). Il s’est ensuite intéressé à l’étude des intégrales p-adiques, puis à l’intégration motivique, et enfin à la théorie des modèles. « D’un certain point de vue, je ne suis pas spécialiste d’un domaine donné mais à l’interface de quatre domaines : les singularités, la géométrie algébrique, la théorie des nombres et la théorie des modèles » explique-t-il avant d’ajouter : « Au cours de ma carrière, j’ai eu l’impression d’opérer des changements mais en fait, avec le recul, je me rends compte qu’il y a une unité dans tout ce que j’ai fait. Finalement, même si on augmente le champ des techniques utilisées, on reste sur les mêmes questions. »

Intégrales p-adiques

Classiquement, on calcule des intégrales en utilisant des nombres réels. En pratique, le calcul intégral sert, par exemple, à calculer des aires. En théorie des nombres, d’autres corps que le corps des réels sont apparus. Les corps p-adiques en font partie. (Ici, le p désigne un nombre premier.) Dans l’étude des intégrales, il peut être intéressant de chercher quelles sont les analogies et les différences entre le cas habituel, avec des réels, et le cas p-adique.

Une des découvertes principales de François Loeser, en collaboration avec le mathématicien belge Jan Denef, est qu’en utilisant des intégrales p-adiques, on pouvait démontrer des résultats sur la géométrie des variétés algébriques complexes (autrement dit les lieux des zéros des polynômes à plusieurs variables sur les nombres complexes). « C’est très étonnant car les nombres complexes et les nombres p-adiques sont deux mondes parallèles. Il est surprenant de démontrer grâce aux uns des résultats sur les autres », confie François Loeser. « Cet exemple est au cœur de ma vision personnelle des mathématiques. C’est l’art d’utiliser des analogies en permanence. »

Intégration motivique

Les bases de l’intégration motivique ont été posées en 1995 par Maxim Konsevitch. Ce concept est difficile à appréhender pour le non-spécialiste, mais on peut essayer de s’en faire une idée : « Avant d’intégrer des fonctions, on mesure des ensembles », rappelle François Loeser. « Deux questions qui se posent naturellement sont : quels sont les ensembles que l’on mesure ? et qu’est-ce que la mesure ? Dans le cas habituel, les ensembles sont des parties de Rn et la mesure, un nombre réel positif. Il s’agit donc à chaque fois de nombres réels. Dans l’intégration motivique, il y a une différence de nature entre ce que l’on mesure et là où se situe la mesure. Les ensembles mesurés sont des parties de Kn, où K est un corps de séries formelles, tandis que la mesure est un objet géométrique sur C, le corps des complexes. Avant Konsevitch, on essayait de faire des mesures à valeurs réelles sur ces ensembles de Kn. L’idée fondamentale de Konsevitch a été de remplacer les réels par un anneau construit avec des objets géométriques complexes. »

François Loeser a beaucoup contribué au développement de l’intégration motivique, d’abord avec Jan Denef puis avec Raf Cluckers, un autre mathématicien belge. Cette nouvelle technique a permis de démontrer les résultats évoqués précédemment sur les variétés algébriques complexes sans utiliser les nombres p-adiques mais en utilisant à leur place des séries formelles à coefficients complexes.

« On a tendance à croire que pour étudier quelque chose sur C, on n’a pas besoin de sortir de C », s’amuse François Loeser. « Là, on voit qu’il peut être utile de voir les nombres complexes comme faisant partie d’un corps plus grand : le corps des séries formelles. En travaillant sur ce corps des séries formelles, on obtient les résultats que l’on n’arrivait pas à démontrer sur C. »

L’intégration motivique permet également d’obtenir des résultats d’uniformité sur les intégrales p-adiques quand p varie.

Enfin, un autre exemple d’application de l’intégration motivique est en lien avec le Lemme Fondamental, une conjecture essentielle du programme de Langlands. Le Lemme Fondamental est une égalité entre deux fonctions définies par des intégrales. Il a été établi par Gérard Laumon et Bao Chau Ngo sur les corps de fonctions (qui sont une généralisation du corps des fractions rationnelles en une variable). Ensuite, Jean-Loup Waldspurger (mathématicien français qui a obtenu cette année le très prestigieux Prix Clay) a démontré que si on connaissait le Lemme Fondamental sur les corps de fonctions, on pouvait le déduire sur les corps p-adiques. L’intégration motivique permet de retrouver directement ce résultat de Waldspurger.

Théorie des modèles

Dans ses travaux sur l’intégration motivique, François Loeser utilise de la logique mathématique, et plus précisément un domaine de la logique mathématique qui s’appelle la théorie des modèles, et qui est une façon abstraite de comprendre l’algèbre.

« Il y a toujours eu une forte présence de l’univers non-archimédien et de la géométrie dans mes travaux », remarque le mathématicien. Pour se faire une idée, disons que selon le point de vue non-archimédien, on s’intéresse aux ordres de grandeur plutôt qu’aux mesures exactes. En géométrie non-archimédienne, tous les triangles sont isocèles.

« Quand on fait de la géométrie sur un corps non-archimédien, si on a une approche trop naïve, on se retrouve avec des objets totalement discontinus et donc impossibles à étudier » remarque François Loeser. « En revanche, en ajoutant des points à ces espaces, on obtient, comme l’a observé Vladimir Berkovich, des objets qui ont de bonnes propriétés. Avec Ehud Hrushovski, on s’est aperçu qu’en utilisant de la théorie des modèles très avancée, comme la stabilité, on pouvait démontrer que les espaces introduits par Berkovich ont de bonnes propriétés topologiques dans des cas non connus auparavant. »

Un mathématicien ouvert

Quand on lui demande sur quels problèmes il travaille, François Loeser répond : « Je ne me considère pas comme un problem-solver. Je n’ai jamais l’impression de travailler sur un problème déterminé à l'avance mais plutôt sur de nouvelles techniques, de nouvelles idées, pour découvrir que l’on peut faire des choses intéressantes avec. » Et si on lui demande si ses travaux ont des applications, il rétorque : « Oui, des applications aux mathématiques. »

François Loeser fait partie de ces mathématiciens curieux, qui s’intéressent de près aux recherches de leurs collègues travaillant sur d’autres problèmes que les leurs, voire dans d’autres domaines. Il y trouve aussi bien des applications potentielles pour ses travaux que des sources d’inspiration. « Je ne me suis jamais senti à l’intérieur d’une discipline fixe. Je suis d’ailleurs très content d’être invité à des conférences dont les publics n’ont presque pas d’intersection entre eux. »

Curiosité, ouverture à des thématiques variées sont pour François Loeser des qualités essentielles chez un mathématicien même si, pour conclure, il admet avec humour que « cela rend peut-être plus difficile d'être reconnu par chaque communauté. »

Les Advanced Investigator Grants de l’ERC

C’est la deuxième édition pour ces « grants » financés par la Communauté Européenne, qui subventionnent des chercheurs choisis sur « projet novateur » comportant une « prise de risque ». Les prix comportent deux niveaux : « starting », pour des jeunes chercheurs, et « advanced », tel qu’obtenu par François Loeser. Même si le lauréat souligne qu’« il est difficile d’expliquer sur 20 ou 30 pages ce que l’on va faire les prochaines années », il encourage ses collègues à candidater car les budgets alloués devraient être en augmentation. Celui qu’il recevra pendant 5 ans, de 2010 à 2014, permettra de financer des invitations de collègues et d’experts extérieurs à son laboratoire, des post-docs et des thèses.

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