Isabelle Gallagher récompensée par l'Académie des sciences

Isabelle Gallagher, professeur à l’Université Paris-Diderot (UFR de mathématiques) et chercheuse à l’Institut de Mathématiques de Jussieu (UMR 7586) est la lauréate 2008 du Prix Paul Doistau – Émile Blutet, une récompense décernée tous les deux ans par l’Académie des Sciences, pour ses recherches en mathématiques. Elle succède ainsi à Alice Guionnet, directrice de recherche CNRS à l’École Normale Supérieure de Lyon, distinguée en 2006.

Les travaux d’Isabelle Gallagher traitent de l’analyse des équations aux dérivées partielles (EDP) d’évolution non linéaires. Elle s’intéresse en particulier aux équations de Navier-Stokes, aux équations d’ondes ou de Schrödinger semi-linéaires. Elle travaille également sur des questions d’analyse harmonique, avec un intérêt particulier pour le groupe de Heisenberg.

 

Les EDP non linéaires


Une EDP décrit l’évolution au cours du temps d’une quantité (souvent issue de la physique) qui dépend de plusieurs paramètres (comme le temps ou encore le point de l’espace où est mesurée cette quantité). C’est une équation qui met en relation des taux de variation (des dérivées partielles). L’intérêt des mathématiciens pour les EDP est particulièrement vif depuis les années 1930 (avec en particulier les travaux de Jean Leray), bien que celles-ci soient connues depuis le XVIIIe siècle (l’équation d’Euler, par exemple). La difficulté dans l’étude des EDP non linéaires est que celles-ci n’ont pas de solutions explicites en général.

Isabelle Gallagher s’intéresse en particulier aux équations de Navier-Stokes (XIXe siècle), qui décrivent le mouvement d’un fluide visqueux incompressible (par exemple l’eau s’écoulant dans un tuyau). Il s’agit de les résoudre pour des données initiales les plus conformes possibles à des conditions naturelles. Ces études trouvent des applications dans le domaine de la modélisation en météorologie ou en océanographie, où interviennent des équations différentes mais de même nature, qui se résolvent de la même façon.

Les équations de Navier-Stokes sont une source de nombreuses questions : si on connaît la vitesse du fluide à un instant donné, comment la calculer à n’importe quel instant ultérieur ? S’il existe une solution à ces équations, est-elle unique ? Est-elle stable ? (Cette question de la stabilité prend tout son sens lors du passage à l’application, par exemple en météorologie : des prévisions météorologiques ne seront fiables que si le modèle est stable par rapport aux erreurs de mesure, c’est-à-dire si une petite erreur de mesure ne conduit pas à une grosse erreur de prévision).

Les méthodes traditionnelles de résolution d’équations ne fonctionnent pour Navier-Stokes que sur un petit intervalle de temps. Le problème consiste donc à montrer que la solution est prolongeable pour tout temps (autrement dit globale). Comme ces équations viennent de la physique, on peut se servir de la conservation de l’énergie. Finalement :

- on sait montrer l’existence de solutions globales mais pas forcément uniques,

- on connaît des solutions uniques mais on ignore à l'heure actuelle si celles-ci sont globales.


Un autre problème autour des équations de Navier-Stokes est la description du mouvement fuides géophysiques (l’atmosphère, les océans…). Ceux-ci dépendant de la rotation de la terre, ce problème impose de tenir compte de la force de Coriolis.

Les EDP non-linéaires sont aussi l’objet d’études aux d’études qualitatives. Par exemple, au sujet des équations de Navier-Stokes, on peut se demander comment évolue dans le temps une solution dont on sait qu’elle existe globalement : on montre qu’à l’infini en temps, toutes les solutions tendent vers 0.

 

Analyse harmonique dans le groupe de Heisenberg


Contrairement aux travaux sur Navier-Stokes, nés, à l’origine, de problèmes physiques concrets et trouvant de nombreuses applications, le travail d’Isabelle Gallagher sur le groupe de Heisenberg s’apparente plus à de l’analyse pure. Le groupe de Heisenberg est défini comme R2d + 1 muni d’une loi de groupe non-commutative et le problème consiste à tâcher de traduire dans ce groupe des résultats d’analyse harmonique bien connus dans R2d + 1. Il s’agit en somme d’établir une sorte de « dictionnaire » entre Rn et le groupe de Heisenberg.

 

Cliquer ici pour voir l'interview-vidéo du site Images des mathématiques où Isabelle Gallagher parle notamment de Navier-Stokes