Programme Maths en Mouvement 2010

Mardi 1er juin 2010 de 9h30 à 17h30 à l’Ecole Normale Supérieure, 45 rue d’Ulm, Paris 5e. Salle Dussane

Organisé avec le soutien de la  

Programme détaillé

9h30 Allocutions d'ouverture

 

10h - 10h25 Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia (POEMS, Electromagnétisme et acoustique) : Du pot d’échappement à la fibre optique, suivez le guide d’ondes et découvrez le spectre des opérateurs autoadjoints dans tous ses états.

Si l'on comprend bien qu'un tuyau puisse guider les ondes sonores, il est moins facile d'expliquer pourquoi le relief sous-marin peut guider la houle ou pourquoi certaines ondes, dites de Rayleigh, sont guidées par la surface d'un solide élastique. Mathématiquement, ces problèmes d'ondes guidées peuvent se formuler comme des problèmes de théorie spectrale. Une onde guidée est associée à une valeur propre d'un opérateur linéaire, dans un espace de dimension infinie. Dans le cas du tuyau acoustique, la situation est assez simple et étend celle que nous connaissons pour les matrices en dimension finie : le spectre de l'opérateur est constitué d'une suite infinie de valeurs propres. En revanche, dans le cas de la houle ou de l'onde de Rayleigh, il apparait un type de spectre très différent de ce qui existe en dimension finie, que l'on appelle le spectre continu. Nous verrons que, même dans ce cas, il est possible de généraliser certains outils élémentaires valables pour les matrices et d'obtenir ainsi de nombreux résultats qualitatifs et quantitatifs sur les ondes guidées, intéressant les physiciens.

 

10h30 - 10h55 Olivier Schiffman (DMA, Analyse algébrique) : Des frises antiques à la théorie des cordes : une nouvelle combinatoire

Il existe encore des structures fondamentales ET elementaires en mathematiques a decouvrir ! Nous illustrerons ce constat rassurant par l'exemple de la theorie des algebres amassees (decouverte il y a a peu pres 10 ans dans le monde mathematique, il y a a peu pres 100 ans dans le monde des livres d'enfants, et il y a a peu pres 2000 ans dans le monde des arts), et dont on mesure chaque annee un peu plus l'importance dans divers domaines profonds des mathematiques et de la physique theorique.

 

11h00 - 11h25 Antoine Chambaz (MAP5, Biostatistique) : Statistique pour l'analyse causale en épidémiologie

Plus de cent ans après la publication de textes scientifiques majeurs dénigrant la notion de causalité (par exemple l'Introduction à la médecine expérimentale de Claude Bernard, 1865, ou l'ouvrage The Grammar of Science de Karl Pearson, 1911), les questions portant sur la notion de causalité et sur l'analyse statistique des liens de causalité demeurent d'actualité. Elles suscitent ou sont au cœur de très nombreux travaux. La compréhension du problème a beaucoup évolué.

Nous présenterons un ensemble d'outils récents permettant de formaliser les questions d'intérêt et d'y apporter des réponses satisfaisantes. Nous illustrerons notre propos par des exemples épidémiologiques.

Bibliographie :

Causality: Models, Reasoning and Inference, Judea Pearl, Cambridge University Press (2000)

Statistics for Epidemiology, Nicholas Jewell, Chapman & Hall (2004)

Targeted Maximum Likelihood Learning, Mark van der Laan & Daniel Rubin, International Journal of Biostatistics, Vol 2(1) (2006)

 

11h25 - 11h45 Pause café

 

11h45 - 12h10 Cédric Boutillier (LPMA et DMA, Probabilités) : Pavages aléatoires : du carrelage de salle de bain à la fonte des cristaux

Les problèmes de pavages sont des questions naturelles de combinatoire : de combien de façons différentes peut-on ranger à plat des objets (dalles de carrelage, confiseries, dominos,...) les uns contre les autres sans avoir à les découper ? À quoi ressemble un tel rangement fait au hasard ? Alors que ces questions sont généralement algorithmiquement très difficiles, on en présentera un sous-ensemble qui, grâce à l'algèbre, peuvent être résolues complètement et rapidement. On verra que ces "modèles exactement solubles" peuvent présenter des transitions de phases similaires à celle de la fonte d'un cristal, et que la résolution algébrique permet d'apporter un certain éclairage sur ces phénomènes.

 

12h15 - 12h40 Todor Tsankov (Equipe de Logique Mathématique, Logique mathématique) : Percolation dans des graphes de Cayley

La théorie de la percolation s'occupe des modèles des processus physiques comme le passage de l'eau à travers une pierre spongieuse ou à travers le percolateur d'une machine à café. Le modèle classique est le suivant : on considère le réseau euclidien Z^d dont chaque arête est effacée avec probabilité p et gardée avec probabilité 1-p (indépendamment l'une de l'autre). Ainsi on obtient un sous-graphe aléatoire de Z^d et on se pose des questions comme si ce graphe a des composantes connexes infinies (et combien), quelle est la forme des composantes connexes, etc., des questions qui correspondent aux phénomènes physiques qu'on voudrait comprendre.

On peut considérer le même processus aléatoire sur n'importe quel graphe (fini ou infini). Dans l'exposé j'aborderai le cas des graphes de Cayley de groupes de type fini où on découvre des phénomènes nouveaux qui n'apparaissent pas dans les modèles classiques. À la fin j'expliquerai quelques questions ouvertes dans ce domaine.

 

12h40 - 14h30 Pause déjeuner

 

14h30 - 14h55 Filippo Santambrogio (CEREMADE, Analyse) : Tirer le profit maximal d'une situation de monopole

Un monopoliste fait face à un certain nombre d'acheteurs potentiels et doit choisir les prix des biens qu'il met à la vente (et, éventuellement, choisir lesquels produire). Chaque acheteur choisira ensuite le bien qu'il préfère (chacun ayant des goûts différents, mais en prenant également en compte le prix choisi par le vendeur) et le monopoliste pourra donc calculer son profit, donné par la différence entre les recettes et les coûts de production. Son but sera alors d'optimiser la tarification pour maximiser le profit. Dans le cas le plus simple, quand l'utilité que l'acheteur de type x tire de l'achat du bien y est proportionnelle à , cela se traduit en un problème d'optimisation sur les fonctions convexes. Le but du séminaire - à cheval entre l'économie mathématique et le calcul des variations - est bien de présenter et analyser ce problème mathématique, ses interprétations, les modèles d'où il vient et ses applications.

 

15h - 15h25 Marie Theret (DMA, Probabilités) : Transition de phase et probabilités : l'exemple du modèle d'Ising

Un métal ferromagnétique est un matériau qui présente une transition de phase : il est aimanté lorsqu'il se trouve à une température inférieure à Tc, la température de Curie, et il perd brusquement son aimantation quand sa température dépasse Tc. Il existe une modélisation probabiliste de ce système, le modèle d'Ising. Nous motiverons la construction de ce modèle, et nous verrons qu'il présente bien une transition de phase, comme le système physique qu'il représente. Nous évoquerons quelques problèmes ouverts liés à ce modèle.

Bibliographie :

Grimmett, Geoffrey. Percolation. Second edition. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 321. Springer-Verlag, Berlin, 1999.

Grimmett, Geoffrey. The random-cluster model. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 333. Springer-Verlag, Berlin, 2006.

 

15h30 - 15h55 Damiano Mazza (LIPN, Informatique théorique) : Démonstrations et programmes : une approche géométrique

Née au cours de la deuxième moitié du XIXème siècle, la théorie de la démonstration moderne a été développée considérablement au début du siècle passé ; c'est en effet pendant cette période que, sous l'impulsion du programme de Hilbert, elle a pris plus ou moins la forme sous laquelle elle se présente aujourd'hui. Ce domaine a ensuite connu plusieurs tournant que nous considérons fondamentaux, comme la découverte de la correspondance de Curry-Howard (fin années 60) et l'introduction de la logique linéaire par Girard (deuxième moitié des années 80). La première établit un lien surprenant entre démonstrations logiques et programmes informatiques ; la deuxième fournit, à travers des outils sémantiques (théorie des catégories, géométrie de l'interaction) et syntaxiques (réseaux de preuve, jeux), la possibilité de donner aux démonstrations (et aux programmes) un contenu de plus en plus géométrique. Nous allons faire un tour d'horizon des développements plus récents dans cette direction de recherche, ainsi que de ses perspectives futures.

 

16h00 - 16h20 Pause café

 

16h20 - 16h45 Muriel Boulakia (LJLL, Electrophysiologie cardiaque) : Simulation numérique de l'activité électrique du cœur

Les pathologies cardiaques sont très souvent dues à un dysfonctionnement dans la propagation de l'onde électrique à l'origine de la contraction du coeur. Dans cet exposé, nous nous intéressons à la modélisation de cette onde électrique et présentons des simulations numériques sur des géométries réalistes. L'objectif est de mettre en place un modèle qui soit d'une part suffisamment riche pour rendre compte de la complexité du phénomène physiologique et d'autre part suffisamment simple pour avoir des temps de calcul et un nombre de paramètres raisonnables. Afin de valider nos simulations numériques, nous essayons de reproduire les mesures usuelles faites par les cardiologues, les électrocardiogrammes, dans des cas sains et pathologiques.

 

16h50 - 17h15 Frédéric Hélein (IMJ, Géométrie et Dynamique) : Les bulles sont-elles toutes rondes ?

On a envie de répondre "oui" à cette question naturelle, mais cela n'est pas si simple à vérifier... Il y a près de cinquante ans, deux résultats différents, dus aux mathématiciens Alexandrov et Hopf, ont semblé confirmer l'intuition que toutes les bulles doivent être rondes. Jusqu'à ce qu'en 1984 H. Wente fabrique une bulle en forme de tore... 

 

17h20 - 17h30 Allocution de clôture

 

Maths en mouvement 2010