Quand Jean-Michel Kantor raconte l’Ecole de Moscou

Mathématicien enseignant à l’Université Paris-Diderot, Jean-Michel Kantor est également un passeur qui tâche de faire découvrir sa science au grand public. Il est entre autres l’auteur, avec l’Américain Loren Graham, du livre Au nom de l’infini, qui relate la singulière histoire de l’Ecole mathématique de Moscou au début du XXe siècle.


Comment êtes-vous devenu mathématicien ?

Ma vocation pour les mathématiques m’est venue très jeune, dès le lycée, mais à cette époque, je ne savais pas que cela pouvait être un métier. C’est en classe préparatoire, à Louis-le-Grand, que j’ai découvert qu’il y a avait une foule de choses à faire en mathématiques. J’ai donc fait une thèse en 1975 sous la direction d’Henri Cartan [célèbre mathématicien et l’un des fondateurs du groupe Bourbaki] sur le thème Formes et opérateurs différentiels sur les singularités

 

Une carrière de mathématicien exige-t-elle de se spécialiser dans un unique domaine ?

Durant ma carrière, j’ai abordé des champs divers des mathématiques : la géométrie analytique, l’analyse fonctionnelle (en particulier les hyperfonctions), l’analyse algébrique (en particulier les modules sur les anneaux d’opérateurs). 

Pour ma thèse, j’ai cherché à généraliser aux espaces comportant des singularités (c’est à dire des points où l’espace n’est pas lisse) ce que l’on savait sur les variétés (qui sont des espaces plus réguliers). Le problème a été plus contourné que résolu et finalement il n’y a pas eu de théorie généralisée. Mais cela a mené toute une école, avec notamment Mikhail Gromov [grand mathématicien franco-russe qui a reçu le Prix Abel en 2009], à penser la géométrie différentielle quand apparaissent des singularités.

Aujourd’hui, je m’intéresse plutôt à la combinatoire géométrique. J’aime la combinatoire car c’est un domaine où l’on trouve des petits problèmes qui semblent faciles mais qui sont en fait difficiles. En combinatoire géométrique, il s’agit d’étudier des polyèdres à sommets dans des réseaux. C’est un domaine à cheval sur plusieurs domaines mathématiques comme l’arithmétique et la géométrie algébrique. Il existe des "dictionnaires" entre combinatoire et géométrie algébrique.

 

Les différents domaines des mathématiques peuvent donc dialoguer, se rejoindre ?

Oui. Par exemple, je viens de publier un article avec des coauteurs venus de trois domaines différents des mathématiques (de trois pays différents également, d’ailleurs) : Dominique Bernardi qui est un théoricien des nombres français, Alexander Borisov qui est un géomètre algébriste russe et Margerita Barile qui est une combinatoricienne italienne.

 

Pouvez-vous donner un exemple de problèmes sur lequel vous vous êtes penché ?

Dans l’espace, on appelle « polyèdre creux » un polyèdre dont les sommets ont des coordonnées entières et sont les seuls points en coordonnées entières.

En dimension 1, il est facile de voir qu’il s’agit des segments de longueur 1.

En dimension 2, les solutions de ce problème sont des triangles de surface ½.

 

Dès la dimension 3, le problème devient plus compliqué mais on peut classer les pyramides ayant cette propriété.
Pour la dimension 4, j’ai démontré un théorème de classification, avec le mathématicien indien K. Sarkaria.
Au-delà de la dimension 4, il n’existe certainement pas de classification.

Outre vos livres, quelles ont été vos principales œuvres de vulgarisateur des mathématiques ?

J’ai participé à la conception de la partie mathématique de la Cité des sciences, à La Villette, de 1981 à 1985. Cette entreprise a réuni beaucoup d’experts français et étrangers comme John Conway ou Roger Penrose : des architectes, des mathématiciens, des ingénieurs, … Il fallait choisir les éléments présentés, suivre la conception et la fabrication des installations. Nous avons lancé un séminaire qui s'appelait Concrétisation des mathématiques, pour échanger des idées.

J’ai également organisé un séminaire de vulgarisation à l’Institut Henri Poincaré, intitulé Mosaïque mathématique. Il réunissait des concepteurs, des artistes qui s’intéressaient aux mathématiques, comme Albert Flocon (du Bauhaus), Jean-Marie Delarue (qui était dans une démarche entre architecture et mathématiques), mais aussi des scientifiques comme le mathématicien René Thom ou le regretté biologiste Yves Bouligand.

D’où vient votre fascination pour les mathématiciens russes ?

J’ai d’abord été attiré par la Russie par atavisme. Et puis lors d’un stage de langue russe, je suis tombé sur un groupe de jeunes mathématiciens vulgarisateurs russes. Ils publiaient Quant, un merveilleux journal de vulgarisation fondé par Kolmogorov dans le but de rénover l’enseignement des mathématiques. Des mathématiciens russes d’envergure, comme Vladimir Arnold ou Andreï Kolmogorov, étaient convaincus que les mathématiques ne devaient pas être réservées à une élite. Ils étaient ouverts à la vulgarisation. Dans Quant, on trouvait beaucoup de choses originales, des mathématiques discrètes, de la théorie des nœuds... Les sujets étaient traités avec une qualité pédagogique formidable. Les auteurs mettaient en pratique, sur des exemples concrets, des choses sur lesquelles ils travaillaient. Ces vulgarisateurs russes faisaient un travail remarquable, d’autant plus qu’ils n’avaient pas des vies faciles (ils avaient parfois un emploi à plein temps le jour et faisaient des mathématiques le soir). Le journal était tiré à 500 000 exemplaires !

et exemple de Quant vous a-t-il inspiré ?

J’ai commencé par traduire un article d'Edouard Bellaga dans Pour la science. Puis il y a eu le recueil Mathématiques venues d’ailleurs, édité chez Belin, qui reprenait des chroniques extraites de Quant et auquel j'ai contribué pour le choix des articles, l'adaptation et la traduction du russe.

 

Y a-t-il eu une forme de coopération avec ces mathématiciens ?

Après la chute du système soviétique, on s’est dit qu’il fallait faire quelque chose pour éviter que tous ces mathématiciens émigrent. J’ai créé une fondation qui s’appelait Pro Matematica, avec le soutien du mathématicien Jacques-Louis Lions et de Hubert Curien, à l'époque Ministre de la Recherche. De 1992 à 1998, nous avons pu distribuer des petites bourses là-bas – pas de grosses sommes, environ 50 euros mensuels, mais 100 000 euros au total. Les Français ont aidé à la création de l’Université Indépendante de Moscou, qui existe encore – j’ai été invité à son 10e anniversaire en 2001 - et est de très bon niveau. Les relations mathématiques franco-moscovites ont bien sûr continué, avec notamment des mathématiciens comme Pierre Deligne ou Laurent Lafforgue. Un Laboratoire Poncelet a été créé là-bas en 2002.

Dans votre livre Au nom de l’infini, on découvre que des convictions religieuses ou idéologiques peuvent motiver ou stimuler des recherches mathématiques. C’est très éloigné de l’idée que l’on se fait des maths et des scientifiques...

C’est étonnant et pourtant c’est vrai. Mon co-auteur Loren Graham, qui est spécialiste de l’histoire des sciences et des techniques en Russie, avait écrit à l’époque de l’Affaire Sokal [célèbre polémique des années 1990 sur les impostures scientifiques en sciences humaines et sociales] un article sur un physicien soviétique, Vladimir Fock, qui avait cherché à « rendre plus marxistes-léninistes » les équations de la Relativité. Cet exemple nous a donné à penser que l’idéologie pouvait influer sur la science et nous avons cherché d’autres cas où cela avait eu lieu, notamment du côté de la religion. C’est ainsi que nous nous sommes plongés dans l’histoire passionnante et dense des débuts de l’Ecole de mathématiques de Moscou. Le livre Au nom de l’infini a nécessité un important travail d’archive. Nous avons mis 6 ans à l’écrire. Derrière la naissance de cette école de Moscou, il y a l’ombre d’une secte hérétique de l'Eglise orthodoxe, celle des Adorateurs du Nom, qui pensaient que « le nom de Dieu est Dieu ». Les « pères fondateurs » de cette école étaient Pavel Florensky, mathématicien mais aussi prêtre adorateur du Nom et théologien, mort exécuté par le régime soviétique, Dmitri Egorov, également membre de la secte, qui sera déporté sous Staline, et Nikolaï Luzin, dont les archives sont empreintes de mysticisme. 

Par exemple, la notion mathématique de discontinuité était, pour ces personnages, reliée à des questions métaphysiques ou religieuses. Pavel Florensky pouvait dire des choses comme : « La conversion est une discontinuité dans la vie spirituelle. » Pour Nikolaï Bugaev, les fonctions discontinues sont « une réfutation libératrice du déterminisme ». 

 

 

La religion peut donc inspirer les maths...

Pas seulement la religion. Dans le livre, on mentionne aussi la naissance des chaînes de Markov, dans laquelle ce sont plutôt des convictions athéistes qui interviennent. A. A. Markov, athée et inspiré par la tradition rationaliste française, s’opposait à  P. A. Nekrasov, religieux fervent, intégriste. Nekrasov était convaincu que l’existence de Dieu résultait de l’existence du libre arbitre. Il y voyait une preuve dans la loi des grands nombres, supposée s’appliquer uniquement à des variables indépendantes. Markov, pour infirmer la théorie de Nekrasov, a cherché des exemples de variables liées et souscrivant pourtant à la loi des grands nombres. Ainsi naquirent les chaînes de Markov.

 

De manière générale, ce qu’on voit à travers ces exemples et d’autres, c’est l’attribution d’un pouvoir métaphysique ou dogmatique aux objets et aux concepts mathématiques. C’est en effet un aspect inattendu des mathématiques et des mathématiciens, qui pourtant a sans doute toujours existé. Le cas de l’Ecole de Moscou est particulièrement frappant. Il s’inscrit dans une époque également très particulière de crise et d’interrogations sur les fondements des mathématiques. On trouve moins d’exemples récents – à part peut-être chez Alexander Grothendieck – de telles réflexions philosophiques ou mystiques en lien avec les mathématiques.

 

 

Au nom de l'infini

Une histoire vraie de mysticisme religieux et de création mathématique

(Loren Graham et Jean-Michel Kantor, Ed. Belin, 2010) 

Co-écrit par l'historien des sciences Loren Graham et le mathématicien Jean-Michel Kantor (Université Paris-Diderot), Au Nom de l'Infini retrace la naissance singulière de l'Ecole mathématique de Moscou, au début du XXe siècle, sous l'influence de savants mystiques adeptes de la secte de l'Adoration du Nom. L'ouvrage est, plus largement, l'occasion de découvrir une page d'histoire des mathématiques, de la fin du XIXe siècle au milieu du XXe, suivant les parcours de grands noms des mathématiques françaises, russes ou allemandes comme Borel, Lebesgue, Baire, Luzin, Egorov, Alexandrov, Kolmogorov, Hilbert, Hausdorff...