Joel Lebowitz et la mécanique statistique

Joel Lebowitz a été pendant trois semaines l’invité de la Fondation Sciences Mathématiques de Paris pour assister au trimestre Mécanique Statistique, Probabilités et Systèmes de Particules qui se déroulait au Centre Emile Borel du 5 Septembre 2008 au 19 Décembre 2008.

Aujourd’hui Professeur titulaire de la chaire George William Hill au département de mathématiques de la Rutgers University (New Jersey), Joel Lebowitz est un chercheur de grand renom qui a obtenu, au fil de sa riche carrière, de nombreux prix et distinctions : la Médaille Boltzmann (1992), le prix Henri Poincaré (2000), la Médaille Nicholson de la Société Américaine de Physique (1994), le Prix Volterra (2001), la Médaille Max-Planck (2007)…
Joel Lebowitz est, en particulier, un spécialiste de tout premier plan en mécanique statistique, un domaine à la croisée de la physique et des mathématiques, en lien avec les séries de probabilités, les systèmes dynamiques ainsi que d’autres branches des mathématiques. Il fut d’ailleurs le fondateur, en 1975, d’une des revues les plus renommées dans cette discipline : le Journal of Statistical Physics.

La mécanique statistique

La mécanique statistique s’intéresse à la relation qui existe entre l’état d’un système macroscopique et les propriétés des éléments microscopiques qui le constituent (par exemple, comment la température de l’eau en ébullition dépend de la pression).
Un certain nombre de technologies modernes sont basées sur la compréhension de telles propriétés : par exemple pourquoi certains matériaux deviennent superconducteurs à basses températures, alors que d’autres non.


En d'autres termes, il s’agit d’étudier le comportement collectif d’un grand nombre d’éléments individuels relativement indépendants, mais qui interagissent entre eux. Ainsi, l’ébullition (ou le gel) sont des manifestations d’un phénomène collectif : les atomes en soi ne changent pas, les molécules, individuellement, non plus, mais leurs interactions, oui.


On constate que de nombreux aspects d’un phénomène collectif ne dépendent pas des détails. Par exemple, bien qu’une molécule d’huile et une molécule d’eau soient tout à fait différentes, un flot d’huile et un flot d’eau se comportent sensiblement de la même façon. Certaines propriétés sont donc universelles car elles ne dépendent que de lois générales de conservation. « Nous essayons ici de comprendre ces phénomènes à travers des exemples très simples », explique Joel Lebowitz. « Et souvent les résultats obtenus pour ces modèles simples sont applicables aux systèmes réels. »


Observons par exemple une transition de phase liquide-vapeur. Lors d’une telle transition, il existe une température critique Tc à laquelle on ne peut pas distinguer le liquide de la vapeur. Quand on est proche de cette température critique Tc, la différence entre la densité de liquide ?l et la densité de vapeur ?v est très faible et ne dépend ne dépend que la différence entre la température T et la température critique Tc. On écrit que :
?? = ?l?v ? (Tc – T)?
Or, si cette température Tc dépend du liquide, le nombre ? est, quant à lui, universel : il ne dépend pas du liquide, mais de la symétrie et de la dimension. Voilà donc un exemple de propriété universelle évoquée ci-dessus.


La mécanique statistique trouve des applications dans des domaines variés : les transitions de phase liquide-vapeur ou solide-liquide, comme on vient de le voir, mais aussi certains phénomènes sociaux, certains phénomènes biologiques, les marchés financiers, le trafic routier (comment passe-t-on d’une circulation fluide à un embouteillage), … Les individus observés peuvent donc aussi bien être des bactéries, des atomes ou des voitures, mais leur comportement collectif est déterminé par leurs interactions et peut être universel.